指数函数是基本初等函数之一，同时还是光滑函数以及解析函数。这里主要介绍实指数函数
exp
:
R
→
R
{\displaystyle \exp: \R \to \R}
，关于自变量和函数值取复数的指数函数参见复指数函数。
概念[]
给定一个实数
a
{\displaystyle a}
（一般还要求是正的），定义指数函数
a
x
=
e
x
ln
a
{\displaystyle a^x = \text{e}^{x \ln a}}
，其中
x
{\displaystyle x}
是实数自变量。
当
a
=
e
{\displaystyle a = \text{e}}
时称为标准的指数函数，有时也写为
exp
x
.
{\displaystyle \exp x.}
这里指数
a
b
{\displaystyle a^b}
的定义参见指数。
性质[]
以下假设
a
>
0.
{\displaystyle a > 0.}
定义域：
R
{\displaystyle \R}
，值域
R
+
{\displaystyle \R^+}
，是非负函数。
单调性：
a
>
1
{\displaystyle a>1}
时严格单调递增，
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0 < a < 1}
时严格单调递减，
a
=
1
{\displaystyle a = 1}
时为常数。
没有周期，没有奇偶性。
函数极限：
lim
x
→
x
0
a
x
=
a
x
0
{\displaystyle \lim_{x \to x_0} a^x = a^{x_0}}
，是连续函数。
奇偶分解：
e
x
=
e
x
+
e
−
x
2
+
e
x
−
e
−
x
2
=
cosh
x
+
sinh
x
.
{\displaystyle \text{e}^x = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2} + \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{2} = \cosh x + \sinh x.}
是光滑函数，各阶导数：
d
n
d
x
n
a
x
=
a
x
ln
n
a
,
n
∈
N
.
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} a^x = a^x \ln^n a, n \in \N.}
特别地，
d
n
d
x
n
e
x
=
e
x
.
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \text{e}^x = \text{e}^x.}
不定积分：
∫
a
x
d
x
=
1
ln
a
a
x
,
a
≠
1.
{\displaystyle \int a^x \mathrm{d}x = \dfrac{1}{\ln a} a^x, a \ne 1.}
函数方程：
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+y) = f(x) f(y)}
的连续解函数
f
(
x
)
=
a
x
.
{\displaystyle f(x) = a^x.}
是解析函数，且泰勒级数为
e
x
=
∑
k
=
0
∞
x
k
k
!
,
0
!
=
1.
{\displaystyle \text{e}^x = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{x^k}{k!}, 0! = 1.}
函数凸性：凸函数，
(
a
x
)
″
>
0.
{\displaystyle (a^x)'' > 0.}
渐近线：
y
=
0
{\displaystyle y=0}
，单侧无穷渐近线。
极限行为：
e
x
−
1
∼
x
,
e
x
−
1
−
x
∼
x
2
2
,
.
.
.
,
x
→
0
{\displaystyle \text{e}^x - 1 \sim x, \text{e}^x - 1 - x \sim \dfrac{x^2}{2},...,x \to 0}
常微分方程的解：
y
′
−
k
y
=
0
,
y
=
C
e
k
x
.
{\displaystyle y' - ky = 0, y = C\text{e}^{kx}.}
相关函数[]
自变量取复数的情形：复指数函数。
多元函数的径向函数：
exp
|
x
|
{\displaystyle \exp |x|}
，磨光子
η
=
exp
1
1
−
|
x
|
2
.
{\displaystyle \eta = \exp \dfrac{1}{1-|x|^2}.}
Gauss 函数：
e
−
x
2
.
{\displaystyle \text{e}^{-x^2}.}
矩阵的指数函数：
exp
A
.
{\displaystyle \exp \boldsymbol{A}.}